Para peneliti di Freie Universität Berlin mengungkap matematika di balik pola yang memukau / Studi baru menghubungkan keindahan pola ubin dengan struktur dan kompleksitas penelitian matematika
Dalam sebuah penelitian baru-baru ini, ahli matematika dari Freie Universität Berlin telah menunjukkan bahwa ubin planar, atau tessellation, lebih dari sekadar cara untuk menciptakan pola yang cantik. Terdiri dari permukaan yang ditutupi oleh satu atau lebih bentuk geometris tanpa celah dan tumpang tindih, tesselasi juga dapat digunakan sebagai alat yang tepat untuk memecahkan masalah matematika yang kompleks. Ini adalah salah satu temuan utama dari penelitian, “Keindahan dalam/dari Matematika: Tesselasi dan Rumusnya,” yang ditulis oleh Heinrich Begehr dan Dajiang Wang dan baru-baru ini diterbitkan dalam jurnal ilmiah Analisis yang Berlaku. Kajian tersebut menggabungkan hasil dari bidang analisis kompleks, teori persamaan diferensial parsial, dan teori fungsi geometri.
Fokus utama penelitian ini adalah “prinsip refleksi parket”. Hal ini merujuk pada penggunaan pantulan berulang bentuk-bentuk geometris di sepanjang tepinya untuk membuat bidang datar, sehingga menghasilkan pola yang sangat simetris. Contoh estetika tesselasi planar dapat dilihat pada karya MC Escher. Di luar daya tarik visualnya, prinsip ini juga dapat diterapkan dalam analisis matematis – misalnya, sebagai dasar untuk memecahkan masalah nilai batas klasik seperti masalah Dirichlet atau masalah Neumann.
“Penelitian kami menunjukkan bahwa keindahan dalam matematika bukan hanya sekedar gagasan estetis, namun sesuatu yang memiliki kedalaman struktural dan efisiensi,” kata Profesor Heinrich Begehr. “Meskipun penelitian sebelumnya tentang tesselasi sebagian besar berfokus pada bagaimana bentuk dapat digunakan untuk memasang ubin atau menutupi permukaan – misalnya, beberapa penelitian terkenal yang dilakukan oleh pemenang Hadiah Nobel Sir Roger Penrose – menggunakan metode refleksi parket untuk menghasilkan tesselasi baru membuka kemungkinan baru. Ini adalah alat praktis untuk mengembangkan cara merepresentasikan fungsi dalam wilayah ubin ini, yang dapat berguna dalam bidang seperti matematika fisika dan teknik.”
Secara khusus, ini dapat digunakan untuk mendapatkan rumus spesifik untuk fungsi kernel – termasuk kernel Green, Neumann, dan Schwarz, beberapa alat yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah nilai batas dalam fisika dan teknik. Dengan demikian, karya ini menciptakan hubungan elegan antara intuisi geometris dan presisi analitis.
Prinsip refleksi parket telah mendapatkan ketenaran selama lebih dari satu dekade dan sangat populer sebagai topik penelitian di kalangan sarjana awal karir. Sejak pengembangan awal, total lima belas disertasi dan tesis akhir di Freie Universität telah mengeksplorasi subjek ini, bersama dengan tujuh disertasi tambahan yang dibuat oleh para peneliti di luar negeri.
Hebatnya, prinsip ini tidak hanya berlaku dalam ruang Euclidean, tetapi juga dalam geometri hiperbolik – jenis yang digunakan dalam fisika teoretis dan visualisasi ruangwaktu modern. Minat terhadap prinsip ini masih tinggi. Tahun lalu, Begehr menerbitkan artikel, “Tesselasi Hiperbolik: Fungsi Hijau Harmonik untuk Segitiga Schweikart dalam Geometri Hiperbolik,” di jurnal Variabel Kompleks dan Persamaan Elips di mana dia mendemonstrasikan penggunaan prinsip refleksi parket untuk membangun fungsi Hijau harmonis untuk segitiga Schweikart di bidang hiperbolik.
“Kami berharap hasil yang kami peroleh tidak hanya dapat diterima di bidang matematika murni dan fisika matematika,” kata Dajiang Wang, “tetapi bahkan dapat menginspirasi ide-ide di bidang seperti arsitektur atau grafik komputer.”
Tradisi Ubin di Berlin
Selama hampir dua dekade, kelompok penelitian yang dipimpin oleh Heinrich Begehr di Institut Matematika Freie Universität Berlin telah mempelajari apa yang dikenal sebagai “tiling cermin Berlin” – sebuah metode berdasarkan prinsip refleksi terpadu yang dikembangkan oleh ahli matematika yang berbasis di Berlin, Hermann Amandus Schwarz (1843-1921).
Dalam pendekatan ini, poligon melingkar – suatu bentuk yang ujung-ujungnya terdiri dari potongan-potongan garis lurus dan busur lingkaran – dipantulkan berulang kali hingga seluruh bidang menjadi mulus dan seluruhnya bersusun, tanpa ada tumpang tindih atau celah. Pola-pola ini tidak hanya mencolok secara visual tetapi juga memungkinkan representasi fungsi integral yang eksplisit – alat utama untuk memecahkan masalah nilai batas yang kompleks.
“Dahulu matematikawan harus menggunakan cermin rias tiga bagian untuk menghasilkan rangkaian gambar yang tak ada habisnya,” kata Begehr. “Saat ini, kita dapat menggunakan program komputer berulang untuk menghasilkan efek yang sama – dan kita dapat melengkapinya dengan rumus matematika tepat yang digunakan dalam analisis kompleks.”
Segitiga Schweikart dan Kecantikan Hiperbolik
Meskipun dianggap sangat estetis, tesselasi dalam ruang hiperbolik – misalnya, dalam cakram melingkar – merupakan tantangan khusus bagi ahli matematika. Di sinilah “segitiga Schweikart” berperan: segitiga khusus yang memiliki satu sudut siku-siku dan dua sudut nol, dinamai menurut ahli matematika amatir dan profesor hukum Ferdinand Kurt Schweikart (1780-1857).
Segitiga-segitiga ini memungkinkan pemasangan pola-pola cakram melingkar yang lengkap dan teratur dengan daya tarik estetis yang menawarkan inspirasi segar bagi para seniman grafis komputer dan arsitek. Pada saat yang sama, konstruksi matematika yang mendasarinya sangat kompleks dan memerlukan metode analisis tingkat lanjut.
Matematika sebagai Ilmu Visual
Temuan tim menyoroti aspek matematika yang sering diabaikan: matematika bukan hanya disiplin abstrak, tetapi juga ilmu visual – yang mana struktur, simetri, dan estetika memainkan peran sentral. Ketika dipadukan dengan teknik visualisasi modern, perangkat lunak grafis, dan alat digital, wawasan ini menjadi lebih relevan.
Kata Latin veritas, justitia, dan libertas, yang membingkai stempel Freie Universität Berlin, mewakili nilai-nilai yang telah mendefinisikan etos akademis Freie Universität sejak didirikan pada bulan Desember 1948.
